Min Max & Max Min

\[ \begin{align} \min_y f(x,y) &\le f(x,y),\, \forall x,y\\\ \max_x \min_y f(x,y) &\le \max_x f(x,y),\, \forall y \\\ \max_x \min_y f(x,y) & \le \min_y \max_x f(x,y) \end{align} \]

对于二元函数\(f(x,y)\),必然大于对它的任何一个变量取最小值,即 (1)式。

看成是\(x\)的函数，对于任意\(x\)，\(\min_y f(x,y)\)都小于\(f(x,y)\)，因此取了最大值后也是，即(2)式。

此时左边是个数，右边是关于\(y\)的函数，此式对于任意\(y\)恒成立，因此对于使得\(\max_x f(x,y)\)取到最小值的\(y\)也是，即(3)式。

瘦死的骆驼比马大。